Graph


## Intro

우리가 자료를 저장하기 위해서는 여러가지 방법이 필요하다. 그 중에서도 연관성을 가지는 데이터를 정리하는 경우에는 선형적인 list만으로는 너무나 부족할 수도 있다. 하지만, Graph를 이용하기에도 데이터의 양이 방대해지고, 규칙이 없기 때문에 원하는 데이터를 찾는 연산에서 많은 시간을 소모하게 된다.

따라서, 보다 규칙적인 형태를 가지면서, 각 지점간의 관계를 가지고, 더 안정적인 구조를 찾기 위해서 고안된 것이 트리이다.

## Tree

트리(tree)란 그래프의 일종으로, 하나의 정점(root) 자체를 의미하거나 또 다른 독립된 (sub)트리를 directed edge(방향 간선)를 이용해서 연결한 자료구조를 말한다.

![Tree's Recursive form](/images/tree1.jpeg)

언뜻 보기에 굉장히 추상적인 표현일 수 있지만, 위와 같은 **재귀적 정의**를 기억하는 것도 많은 도움이 된다.

이를 좀 더 쉽게 설명하자면, 기본적으로 트리는 방향을 가진 간선으로 이루어진 그래프에서 다음과 같은 요소를 가지고 있을 경우를 트리라고 말한다.

1. 루트(root)라는 다른 정점을 가진다.
2. 루트를 제외한 모든 정점은 해당 정점으로 가는 간선(edge)이 단 하나이다.
3. 그렇기에 루트에서 모든 정점으로 연결되는 간선들의 경우의 수도 단 하나이다.

![Tree's Normal form](/images/tree2.jpeg)

이를 이해했다면, 앞 서 살펴보았던 재귀적 정의도 이해가 되었는지 다시 한 번 확인하고 가자.

**위와 같이 트리에서 루트에 연결된 서브 트리는 마치 하나의 독립적인 바구니라고 볼 수도 있다.** 트리에서는 연결된 subtree가 서로 독립적이기 때문에, 독립적인 바구니에 담는 규칙을 마음대로 정하여 독립적인 특징이 있는 데이터를 **분류**하기에 적절한 구조를 가지고 있다.

## 용어

- 깊이(depth) : 트리의 최대 높이를 의미한다. 대게 루트의 높이를 0으로 보기 때문에 노드가 2개라면, 깊이가 1인 걸로 본다. 하지만, 이는 구현자의 마음에 따라 다르게 구현할 수 있다.
- 부모(parent) : 특정 정점을 기준으로 자신을 가르키는 간선을 가진 정점을 말한다. 즉, 트리의 구조에서 상위에 있는 노드라고 할 수 있다.
- 자식(child) : 특정 정점을 기준으로 자신에서 출발하는 간선에 연결된 정점을 말한다. 즉, 트리의 구조에서 하위에 있는 노드라고 할 수 있다.
- 조상(ancestor) : 특정 정점을 기준으로 자신으로 오는 경로가 존재하는 정점을 말한다. 즉, 트리의 구조에서 부모에서 부터 루트까지에 경로의 모든 노드가 이에 포함된다.
- 루트(root) : 부모가 없는 최상단의 정점을 의미한다.
- 리프(leaf) : 자식이 없는 최하단의 정점들을 의미한다.
- 서브트리(subtree) : 트리의 각 정점은 해당 정점을 루트로 하는 트리라고 볼 수 있다. 이러한 본래 트리에 존재하는 내부 트리를 서브트리라고 한다.

## Binary Tree
  
모든 정점의 자식의 크기가 2 이하로 정해진 트리를 이진 트리(Binary Tree)라고 한다.

- Skewed Binary Tree  
  이진 트리에서 같은 depth에 있는 정점이 단 하나 밖에 없는 경우를 말한다. 마치 Linked List와 같은 형태이다. 이는 트리의 목적 중 하나인 분류라는 기능을 적절히 수행하지 못하는 형태이기 때문에 대게 좋지 않은 형태로 본다.

![skewed tree](/images/skewed-tree.png)

- Balanced Binary Tree  
  균형 잡힌 이진 트리로 좌우의 depth가 최대 1까지만 차이가 나는 경우를 의미한다.

![balanced tree](/images/balanced-tree.png)

- Full Binary Tree  
  정점이 가질 수 있는 자식의 수가 0 아니면 2로 제한되는 형태의 이진 트리를 의미한다. 그렇기에 기본적으로 균형 잡힌 형태의 트리가 생길 수 밖에 없다.

![full tree](/images/full-tree.png)

- Complete Binary Tree  
  균형잡힌 트리이면서 정점이 반드시 왼쪽부터 채워지는 트리를 말한다. 해당 트리의 가장 큰 특징은 이를 Array로 표현하기에 최적화되어있다는 점이다. 이는 후에 있을 **구현법** 파트에서 더 자세히 알아본다. 따라서, Complete Tree를 기억하고 가자.

![complete tree](/images/complete-tree.png)

- Perfect Binary Tree  
  Complete Tree와 가장 혼돈되는 개념이다. 이는 모든 이진 트리가 빈틈없이 꽉 채워진 경우를 말한다. 즉, leaf 노드의 자식의 갯수가 모두 0일 때이다.

![perfect tree](/images/perfect-tree.png)

## 속성

해당 속성은 정의에 의해서 파생되는 내용이다. 직접 상상해서 왜 안되는지를 생각해보자.

- 루트에 연결된 subtree 간에는 간선이 존재하지 않는다.
- Cycle이 존재하지 않기 때문에, Graph의 종류 중 하나인 DAG에 속한다.
- 정점과 정점 사이의 경로가 있다면, 해당 경로는 유일한 경로이다.
- 형제 노드로 이동할 수 있는 방법은 존재하지 않는다.

## 구현법

트리는 표현하기 위해서 대표적으로 두 가지를 사용한다. 리스트를 이용한 구현 방법과 구조체(or Class)를 이용한 구현이다.

### 1. 구조체

일반적으로 가장 널리 사용하는 방법이다. 먼저 Tree라는 구조체(or Class)를 정의한다.

```python
class Tree:
  def __init__(self, value, subtrees):
    self.root = value
    self.subtrees = subtrees
    # 필요에 따라서, 부모의 정보가 필요한 경우에는 parent를 저장할 수도 있다.
```

이진 트리에 경우에는 단 두 개의 subtree로 정해져있기 때문에 아래와 같은 형태를 빈번히 사용한다.

```python
class Tree:
  def __init__(self, value, left, right):
    self.root = value
    self.left = left
    self.right = right
```

이를 통해서 각 Tree type의 변수는 모두 루트 값과 subtree들을 포함하게 된다.

### 2. 리스트

트리의 각 정점의 유일한 특징을 이용하여 표현한다. depth와 왼쪽에서부터 몇 번째 인지를 나타내는 index를 같이 사용하면, 정점의 위치를 특정하여 표현할 수 있다.
따라서, 다음과 같은 식으로 Tree의 정점을 표현하는 것이다.

만약, 이진 트리와 같은 경우에는 아래와 같은 식으로 해당 노드가 어느 곳에 존재하는지를 찾을 수 있다.

1. $\text{tree}[2^{i} + j] = $ depth가 i이고, 왼쪽에서 j만큼 떨어진 정점이 지닌 값
2. $\text{tree}[i]$의 자식은 $\text{tree}[i \times 2]$ 또는 $\text{tree}[i \times 2 + 1]$이다.

![tree-to-list](/images/tree-to-list.jpeg)

이때 반드시 주의할 점은 시작 점은 0이 아니라 1이 되도록 해야한다는 점입니다.

이는 트리의 노드의 수가 제한되어 있는 경우에만 사용할 수 있으며, 효율적으로 사용하기 위해서는 최대한 Complete Tree형태를 갖추어야 한다. 왜냐하면, 왼쪽에서부터 데이터를 채우기 때문에 Complete Tree 형태의 구조여야지만 최대 효율을 낼 수 있는 것이다.

## Binary Search Tree

검색 트리(Search Tree)란 트리를 이용해서 검색을 쉽게하기 위해서 **일정한 규칙**에 따라서 데이터를 저장한다. 이 방식은 해당 자료를 조회하는 과정이 굉장히 단순화 될 수 있다는 장점을 가진다. 그 중에서도 Binary Search Tree는 일정한 규칙을 `데이터의 삽입 시에 현재 위치에 정점보다 데이터가 크다면 오른쪽, 작다면 왼쪽에 배치시킨다.`로 정의한 경우를 말한다. 이렇게 데이터를 저장하게 되면, 마치 이진 검색을 통해서 데이터를 찾는 것과 같은 효과를 가질 수 있다. 왜냐하면, 후에 내가 데이터를 찾을 때 현재 위치의 값을 확인하고 해당 값보다 찾고자 하는 값이 크다면 반드시 오른쪽에 있을 것이라는 확신을 가질 수 있기 때문이다. 이를 통해서, 검색 범위를 줄일 수 있기 때문에 우리가 마치 이진 검색을 하는 것처럼 데이터의 범위를 한정할 수 있다. 이게 앞에서 설명했던 트리가 가지는 분류의 기능이다. 기존의 리스트에서는 정렬을 통해서 index 번호가 순서라는 정보를 담고 있었다면, Binary Search Tree에서는 좌우 subtree가 대소 비교라는 정보를 갖고 있는 것이다.

하지만, 위에서 살펴보았다시피 유의할 점은 데이터가 좌우로 골고루 퍼져 있어야 한다는 점이다. 만약, 데이터가 좌축에만 쏠려있다면(skewed), 결국에는 분류로 얻는 이득이 없어진다. 따라서, 검색 시에는 시간 복잡도가 $O(N~\log{N})$ 이다.

### Skew 해결책

여기서는 Skew에 대한 자세한 해결책을 제시하지 않는다. 아래 키워드를 제시하였으니 이를 검색하여 찾아보길 권장한다. (후에 정리할 시간이 있다면, 정리하겠다.)

- 각 정점에 우선순위를 랜덤 값으로 지정하고, 각 subtree의 root는 해당 subtree에서의 랜덤 값의 총합을 우선순위로 가지게 하여 특정 트리가 데이터의 순서에 의해서 skew되는 현상을 막기 우히나 방법이 있다.(Treap)
- Tree의 Skew가 발생할 시에 rotation이라는 방법을 통해서 Skew를 해결 시키는 방법도 있다. (AVL Tree)
- 빨강과 검정이라는 이진 정보를 추가 활용하여 해결하는 방법도 있다. (Red Black Tree)

## Advanced Topic

아래 설명된 Tree에 대한 정보는 앞으로 차근차근 포스팅할 계획이다.

- DFS Tree
- Segment Tree
- Fenwick Tree
- Heap


Tree


## Intro

이전에는 DFS의 기본이 되는 요소에 대해서 알아보았지만, 이제는 좀 더 심화적인 부분을 배워보고자 한다.
DFS가 그래프를 순회하면서 만드는 DFS Spanning Tree에 대한 내용이다.

## DFS Spanning Tree

우리는 총 4가지로 간선을 분류할 수 있습니다.

1. **Tree Edge(트리 간선)**- DFS Spanning Tree에 포함된 간선
2. **Forward Edge(순방향 간선)** - 해당 간선이 가르키는 정점이 DFS Spanning Tree에서 자신의 descendant(후손)에 속하는 경우
3. **Backward Edge(역방향 간선)** - 해당 간선이 가르키는 정점이 DFS Spanning Tree에서 자신의 ancestor(조상)에 속하는 경우
4. **Cross Edge(교차 간선)** - 해당 간선이 가르키는 정점이 후손도 조상도 아닌 sibiling(형제 또는 그들의 자손)에 속하는 경우

![dfs-spanning-tree](/images/dfs-spanning-tree.png)

이를 구현하기 위해서는 총 두 개의 추가적인 자료구조가 필요하다.

1. order[1...N] = 해당 노드의 발견 순서
2. finished[1...N] = 모든 간선의 사용 여부

```python
adj = [
  [1,3],
  [2],
  [1],
  [1,2]
]
N = len(adj)

order = [-1] * N
finished = [False] * N
cnt = [0]
def dfs(curr):
  order[curr] = cnt[0]
  cnt[0] += 1
  for next in adj[curr]:
    prefix = curr + "에서 " + next + "까지는"
    # 아직 방문하지 않았다면, 트리 간선이다.
    if order[next] == -1:
      print(prefix + "트리 간선이다.")
      dfs(next)
    # 만약 다음 정점의 order가 더 낮다면, 순방향 간선이다.
    elif order[next] > order[curr]:
      print(prefix + "순방향 간선이다.")
    # 만약, 다음 정점이 아직 거쳐야 하는 정점이 있다면, 역방향 간선이다.
    elif not finished[next]:
      print(prefix + "역방향 간선이다.")
    # 그 외에는 교차 간선이다.
    else:
      print(prefix + "교차 간선이다.")
  finished[curr] = True

def dfsAll():
  for i in N:
    if order[i] == -1:
      dfs(i)
```

위와 같이 구현하게 되면, 적절하게 간선을 구분할 수 있다. 위에는 방향이 존재하는 그래프였지만, 만약 방향이 존재하지 않는 무향 그래프라면 위의 과정을 좀 더 단순화할 수 있다.
먼저 간선은 다음과 같이 줄어든다.

1. **트리 간선** = DFS Spanning Tree에 포함된 간선
2. **중첩 간선** = DFS Spanning Tree에 포함되지 않은 간선

다음과 같이 총 2개로 줄어드는 것을 볼 수 있다. 교차 간선과 역방향 간선은 기본적으로 이후에 방문하는 정점에서 이미 방문한 정점으로 이동하는 것인데 이런 일은 무향 그래프에서는 발생하지 않기 때문에 존재할 수 없다.
그러면, 구현은 다음과 같이 진행됩니다.

```python
adj = [
  [1,2,3],
  [0,2,3],
  [0,1,3],
  [0,1,2]
]
N = len(adj)

order = [-1] * N
# finish는 필요하지 않다.
cnt = [0]
def dfs(curr):
  order[curr] = cnt[0]
  cnt[0] += 1
  for next in adj[curr]:
    prefix = curr + "에서 " + next + "까지는"
    # 아직 방문하지 않았다면, 트리 간선이다.
    if order[next] == -1:
      print(prefix + "트리 간선이다.")
      dfs(next)
    # 만약 다음 정점의 order가 더 낮다면, 중첩 간선이다.
    # 여기서 유의해야 할 점은 바로 중첩 간선은 두 번 호출된다는 점이다.
    # 중첩 간선이기 때문에 서로 한 번씩 호출히기 때문이다.
    # 이를 구분하기 위해서 order를 사용할 수 있다.
    elif order[next] < order[curr]:
      print(prefix + "order가 높은 곳에서 낮은 곳으로 가는 중첩 간선이다.")
    else:
      print(prefix + "order가 낮은 곳에서 높은 곳으로 가는 중첩 간선이다.")

def dfsAll():
  for i in N:
    if order[i] == -1:
      dfs(i)
```

여기서 각 간선의 특징을 이해하면, 다른 문제를 풀기 쉽다.

1. 역방향 또는 중첩 간선의 갯수 = circle의 갯수
    - 여기서 주의할 점은 바로 무향 그래프에서는 바로 직전의 방문한 정점으로 돌아가는 정점은 매번 존재하기 때문에 이는 제외해야 한다는 것을 주의하자.
2. 무향 그래프에서 특정 정점에서 시작되는 Spanning Tree가 중첩 간선이 없다는 것은, 해당 정점을 기준으로 연결된 정점들은 실제 그래프에서도 트리 형태로 존재한다는 점(절단점)이다.
3. 방향 그래프에서 역방향 간선과 교차 간선이 없다면, 똑같은 의미를 가진다.

## 문제 풀이

DFS 문제에서는 대게 다음과 같은 자료 구조가 많이 사용한다.

- visited : 방문 여부에 대한 checklist로, graph의 정점의 크기 만큼 존재한다. 초기 값은 False로 초기화한다.
- order : 방문 순서에 대한 checklist로, graph의 정점의 크기 만큼 존재한다. 초기 값은 -1로 초기화하고, 방문 시마다 올려 주기 위해서, global variable로 cnt를 추가적으로 설정해주기도 한다.(그렇지 않으면, dfs parameter로 전달해주어야 한다.) 또한, 이를 통해서, visited 판단이 가능하기 때문에, 이를 사용할 시에는 visited의 사용을 하지 않아도 된다.
- finished : 방향 그래프에서 해당 정점에 대한 탐색이 종료되었는지를 확인하기 위해서 사용되는 자료구조이며 graph의 정점의 크기 만큼 존재한다. 초기 값은 False로 초기화하고, dfs의 모든 정점을 방문하는 것이 끝난 경우에 이를 True로 세팅하자.
- parent : 이는 대게 DFS를 재구조화할 때, 이 역시 graph의 정점의 크기 만큼 존재한다. 대게 경로를 다시 그려야 하는 경우에 많이 사용한다. 만약 visited도 같이 표현하고 싶으면, -2로 초기화하는 것이 좋다. 하지만, visited를 따로 사용할 것이라면, -1로 초기화해도 된다. 왜냐하면, parent -1은 dfs spanning tree의 root라는 의미를 가지는 값으로 쓰는 경우가 대부분이기 때문이다.

### Circle 찾기

위에서 나온 대로 Circle을 찾아나가면 됩니다.

> 백준 16929

<https://www.acmicpc.net/problem/16929>

가장 기본적인 문제로 대놓고, Circle을 찾으라고 합니다. 유의할 점은 직전에 그쳐간 지점으로 돌아가는 것은 막아야 한다. 따라서, prev 값을 들고 가는 것을 추천한다.

> 백준 12946

<https://www.acmicpc.net/problem/12946>

응용 문제입니다. 처음에는 circle 찾기라는 것을 이해하기 어렵다. 하지만, 최대 색은 3이고, circle을 이루는 원소가 홀수인지 짝수인지를 찾는 문제로 받아들이면, 굉장히 쉽게 풀 수 있다.

> 백준 16947

<https://www.acmicpc.net/problem/16947>

가장 많이 응용되어지는 응용 예시입니다. DFS + BFS 기술을 사용해야 한다. 먼저, DFS를 통해서 Circle에 속하는 원소를 찾아내고, 해당 Circle에 속하는 원소들을 queue에 넣은 후에 거기서부터 bfs로 방문하지 않은 점을 찾아나가면 된다.


DFS(2)-DFS Spanning Tree


## Intro

Graph란 여러 개의 Vertex(정점)와 그를 잇는 Edge(간선)로 이루어진 형태의 자료 구조를 의미한다.

## 핵심 종류

- 무향 그래프: 방향이 없이 선으로 이어진 그래프
- 방향 그래프: 방향을 가진 그래프로 한 정점에서 다른 정점으로 가는 방향을 명시한 그래프
- 가중치 그래프: 각 간선이 가중치를 가지는 형태를 그래프
- 이분 그래프: 정점을 두 개의 그룹으로 나누었을 때, 각 그룹은 서로 연결되지 않은 점들로만 이루어지는 그래프
- **방향 비순환 그래프(Directed Acyclic Graph(DAG))**: 어느 정점에서 시작해도 cycle(순환)이 존재하지 않는 형태의 그래프. 이 그래프 형태에 tree(트리)도 해당되며, 이것이 특별한 이유는 선형으로 정렬하는 것이 가능하기 때문이다. ([DFS_위상정렬 참고](/post/DFS))

## Dense vs Sparse

그래프 관련 문제를 해결할 때, 반드시 고려해야 할 점은 해당 그래프가 Dense(밀도가 높은, edge가 많은)한 경우와 Sparse(희귀한, edge가 적은)한 경우를 모두 고려해주어야 한다. 이에 따라서, 시간복잡도가 굉장히 천차만별하게 나타나기 때문이다.

## 표현 방법

> **1. adjacent list(인접 리스트)**

각 정점마다 해당 정점에서 나가는 간선의 목록을 저장해서 그래프를 표현하는 법  

```python
import sys
# N = 정점의 수, M = 간선의 수
N, M = [int(i) for i in sys.stdin.readline().split()]
adj = [[] for _ in range(N)]
for _ in range(M):
  a, b = [int(i) for i in sys.stdin.readline().split()]
  adj[a].append(b)
  # 무향 그래프에서는 다음과 같이 반대 방향도 추가해주어야 한다.
  adj[b].append(a)
```

> **2. adjacent matrix(인접 행렬)**

인접 리스트 방식의 단점은 특정 두 정점이 연결 되었는지를 알기 위해서는 해당 정점과 연결된 모든 정점을 확인해야 한다. 인접 행렬에서는 이를 해결할 수 있다. 연결 여부를 직접 2차원 $V \times V$ 행렬로 나타내기 때문에 이를 바로 index 조회로 알 수 있다. **하지만,** 메모리를 더 잡아 먹을 수도 있고, 단순히 연결된 정점만 조회하는 연산일 경우에는 오히려 모든 정점을 조회해야 하기 때문에 비용이 증가할 수 있다. (Sparse한 graph일 수록 비용 증가가 크다.)  

```python
import sys
# N = 정점의 수, M = 간선의 수
N, M = [int(i) for i in sys.stdin.readline().split()]
adj = [[0 for _ in range(N)] for _ in range(N)]
for _ in range(M):
  a, b = [int(i) for i in sys.stdin.readline().split()]
  adj[a][b] += 1
  # 무향 그래프에서는 다음과 같이 반대 방향도 추가해주어야 한다.
  adj[b][a] += 1 
```



## Intro

Graph의 탐색에서 가장 기본이 되는 방법입니다. 한 점에서 연결된 다른 점으로 이동을 하면서, 모든 연결된 점을 순화하는 것을 목표로 가진다고 가정해봅시다. 이때, 정점을 고르는 방식에 따라서, DFS, BFS로 나눕니다. DFS에서는 자신과 연결된 정점 중에서 하나를 선택하고 이동한 뒤에 해당 점에서 다시 연결된 지점을 찾아서 이동합니다. 즉, 바로 지금 뽑은 점에 인접해있는 지점이 이전에 인접해있던 지점보다 가중치가 높다는 것입니다. 이를 모두 진행하고도 답을 찾을 수 없다면, 이제 이전 시점으로 돌아와서 다시 작업을 재개하는 방식입니다.

## DFS(Depth First Search)

이를 구현하기 위해서는 `Stack`이 가장 중요합니다. 이전의 연결되었던 점보다 현재 연결된 점이 더 중요하기 때문에, 현재가 우선순위가 높지만, 후에 이를 다시 찾아와야 하기 때문에, 이를 저장하기 위한 자료구조가 필요한데 이것이 `Stack`이 되는 것입니다.

따라서, 이를 직접 구현해보면 다음과 같습니다.

```python
adj = [
  [2,3],
  [3],
  [0,3],
  [0,1,2]
]

visited = [False] * 4
stack = [(0, visited)]
while len(stack) > 0:
  cur, visited = stack.pop(-1)
  visited[cur] = True
  for next in adj[cur]:
    if visited[next] === False:
      stack.append((next, visited))
```

또는, Recursive Call(함수의 재귀 호출)을 통해서 구현할 수 있습니다. 재귀 호출을 통한 구현이 더 일반적이며, 이해하기 쉬운 구조이기 때문에 많이 사용됩니다. 왜냐하면, 함수는 기본적으로 `stack` 형식으로 호출한 함수들을 쌓아두기 때문에, 더 원활한 구현이 가능합니다.

```python
adj = [
  [2,3],
  [3],
  [0,3],
  [0,1,2]
]

def dfs(cur, visited):
  visited[cur] = True
  for next in adj[cur]:
    if visited[next] === False:
      dfs(next, visited)

dfs(0, [-1] * 4)
```

추가적으로 만약 순회해야 하는 그래프가 확실하게 모두 연결된 그래프가 아니라면(중간에 간선이 끊겨 연결이 되지 않는 정점이 존재하는 경우), 우리는 모든 정점에서 `dfs`를 수행하도록 설정을 해주어야 합니다. 그래야만 전체 점을 순환할 수 있습니다.

```python
adj = [
  [2,3],
  [3],
  [0,3],
  [0,1,2]

]

def dfs(cur):
  visited[cur] = True
  for next in adj[cur]:
    if visited[next] === False:
      dfs(next)

def dfsAll():
  visited = [False] * len(adj)
  for v in range(len(adj)):
    if not visited[v]:
      dfs(v)
  
```

### 시간복잡도

일반적으로 모든 노드를 순환하는 것이 목표라면,

- 인접 리스트 : $O(|V| + |E|)$
- 인접 행렬 : $O(V^2)$

### Example

> **연결된 부분집합 갯수**

disjoint set을 통해서 구현할 수 있는 문제이지만, DFS를 통해서 쉽게 구현할 수 있습니다. 바로, 앞 서 보았던 `dfsAll`에서 `dfs`의 호출 횟수를 counting하면 값을 구할 수 있습니다.

```python
# adj = [[...], [...], ...]
# visited = [False, False, ..]

def dfs(cur):
  visited[cur] = True
  for next in adj[cur]:
    if not visited[next]:
      dfs(next)

def dfsAll():
  visited = [False] * len(adj)
  cnt = 0
  for v in range(len(adj)):
    if not visited[v]:
      cnt += 1
      dfs(v)
  return cnt
```

---

> **위상정렬**

위상 정렬이란 directed edge(유향 간선)로 이루어진 그래프를 규칙을 깨지 않으면서 정렬하는 방식입니다. 간선이 없는 경우에는 순서가 상관없지만, 간선이 있는 경우에는 순위가 있는 형태입니다. (우선순위 : 출발점 < 도착점)
언뜻 보기에는 어려워 보이지만, DFS를 통해서 쉽게 해결할 수 있습니다. DFS를 실행하면서 끝에 지점에서 부터 배열에 저장하고 이를 역순으로 정렬하면 위상정렬이 되는 것을 볼 수 있습니다.

```python
# adj = [[...], [...], ...]
# visited = [False, False, ..]

order = []

def dfs(cur):
  visited[cur] = True
  for next in adj[cur]:
    if not visited[next]:
      dfs(next)
  order.append(cur)

def dfsAll():
  visited = [False] * len(adj)
  order = []
  for v in range(len(adj)):
    if not visited[v]:
      dfs(v)

print(order[::-1])
```

> **오일러 서킷(한 붓 그리기)**

시작 점과 끝 점이 동일할 때, 모든 경로를 지나는 길찾기입니다.
이를 해결할 때에는 우선 다음 조건을 먼저 확인해야 합니다.

- 두 개 이상의 Component로 분리된 경우 만들 수 없습니다.
- 어느 한 점이라도 차수가 홀수이면, 만들 수 없습니다.

해결책은 간단합니다. 반복적으로 Circuit(순환)을 찾아서, 최종 구조로 완성하면 됩니다.

다음이 기본적인 프로세스입니다.

1. 먼저 자신으로 시작해서 자신으로 돌아오는 순환을 먼저 찾는다.
2. 위의 과정을 진행하고도, 아직 지나지 않은 간선을 포함한 정점이 있다면, 이를 시작점으로 하여 다시 순환을 찾을 수 있다. 이러한 정점이 없을 때까지 이를 반복해서 시행한다.
3. 이를 최초의 순환에 붙여나가면서, 최종으로 오일러 서킷을 완성한다.

1번과 2번 과정에서 만약, 순환을 찾을 수 없다면 오일러 서킷이 불가능하다는 결론을 내리고 process를 종료합니다.

```python
# adj = [[...],[...],...] (인접행렬) - 동일 간선이 여러 개 있을 수도 있음
def eulerCircuit(cur, circuit):
  for next in range(len(adj)):
    if adj[cur][next] > 0:
      adj[cur][next] -= 1
      adj[next][cur] -= 1
      eulerCircuit(next, circuit)
  circuit.push_back(cur)   
```

**만약,** 시작점과 끝점이 다른 EulerTrail일 경우에는 임의로 시작점과 끝점을 잇고, Euler Circuit을 찾은 뒤에 삭제하면 됩니다.
